Jede Person nennt eine Seife. Danach werden die Stimmen pro Seife gezählt. Die Sorten sind Kategorien ohne natürliche Reihenfolge – deshalb sind die Daten nominal.
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Statistik-Kurs NWW an der KSK
Von Rohdaten zu einer begründeten Aussage: Du lernst Statistik an Seifen, Cremes und Messreihen. Eigene Daten brauchst du noch nicht. Wenn dein Forschungsprojekt bereit ist, kannst du es am Ende direkt einbauen.
1Einordnen
2–3Beschreiben & messen
4Prüfen
5–6Vergleichen
Zum Ausdrucken und Weiterarbeiten
Zusatzmaterialien
Lade das Begleitheft oder die Excel-Beispiele auf dein Gerät. Die Dateien können auch unabhängig vom Onlinekurs verwendet werden.
Labor 1 · etwa 35 Minuten
Welche Art von Daten habe ich?
Daten sind Antworten auf eine Forschungsfrage. Deshalb kann derselbe Gegenstand ganz unterschiedliche Daten liefern.
Ein Gegenstand – drei Datenarten
Das Seifen-Beispiel
Vier Seifen werden untersucht. Entscheidend ist nicht die Seife, sondern was genau gefragt und erfasst wird.
Welche gefällt am besten, zweitbesten, drittbesten? Die Reihenfolge ist klar, die Abstände zwischen den Rängen sind aber nicht messbar.
Die Schaumhöhe wird in Millimetern gemessen. Differenzen lassen sich sinnvoll berechnen.
Kategorien
Keine natürliche Reihenfolge.
Blutgruppe, Farbe, TierartRangfolge
Eine Reihenfolge ist möglich, gleiche Abstände sind aber nicht sicher.
Schulnoten, Bewertung 1–9Messbare Abstände
Differenzen zwischen Werten haben eine klare Bedeutung.
Temperatur, Länge, ZeitÜbung 1
0 / 8Daten-Sortierstation
Wähle für jede Variable die passende Datenart.
Übertrage es: Welche abhängige Variable erhebt ihr? Ordne sie nominal, ordinal oder metrisch ein.
Labor 2 · etwa 40 Minuten
Welcher Wert ist typisch?
Zuerst schauen wir, wie sich Werte verteilen. Danach wählen wir einen passenden Wert für ihre Mitte.
Was bedeutet Verteilung?
Eine Verteilung zeigt, welche Werte vorkommen und wie häufig sie vorkommen. Wenn 20 Personen eine Creme von 1 bis 9 bewerten, können viele Bewertungen bei 6 liegen, wenige bei 1 oder 9 und manche Werte gar nicht vorkommen.
Ein Häufigkeitsdiagramm macht diese Verteilung sichtbar. Ihre Form kann gleichmässig, einseitig, zweigipflig oder ungefähr glockenförmig sein. Eine zweigipflige Verteilung nennt man auch bimodal. Den Begriff schief verwenden wir, wenn sich die Werte deutlich stärker zu einer Seite ausdehnen.
KennwertSinnvoll fürBedeutung
Modalwertnominal, ordinal, metrischhäufigster Wert
Medianordinal, metrischteilt geordnete Daten in zwei Hälften
MittelwertmetrischSumme aller Werte geteilt durch ihre Anzahl
Beispiel aus deiner Excel-Tabelle
Wo liegt der Modalwert?
Wähle eine Creme. Die Balken zeigen, wie oft jede Bewertung von 1 bis 9 vorkommt.
Experiment
Der Ausreisser-Regler
Fünf Keimlinge wachsen ähnlich. Verändere den sechsten Messwert.
5 mmMesswert: Wachstum jedes Keimlings50 mm
Modalwert–
Median–
Mittelwert–
Kurze Entscheidung
Eine Geschmacksbewertung liegt meist bei 7. Einige wenige Personen vergeben 1. Welcher Kennwert beschreibt die Mitte meist besser als der Mittelwert?
Labor 3 · etwa 55 Minuten
Wie stark streuen die Werte – und wie zuverlässig messen wir?
Ein typischer Wert genügt nicht. Zwei Messreihen können denselben Mittelwert besitzen und trotzdem verschieden streuen. Zusätzlich müssen wir verstehen, wodurch Messwerte vom gesuchten Wert abweichen können.
Messreihe A
4,84,95,05,15,2
Mittelwert: 5,0 · kleine Streuung
Messreihe B
13579
Mittelwert: 5,0 · grosse Streuung
Spannweite
Maximum minus Minimum. Einfach, aber empfindlich gegenüber Ausreissern.
Varianz
Mittlere quadrierte Abweichung der Werte vom Mittelwert. Grosse Abstände zählen dadurch besonders stark.
Standardabweichung
Wurzel der Varianz. Sie beschreibt die Streuung wieder in derselben Einheit wie die Messwerte.
1Mittelwert berechnen
→2Abweichungen vom Mittelwert
→3Abweichungen quadrieren
→4mitteln = Varianz
→5Wurzel ziehen =
Standardabweichung
Standardabweichung
Konkrete Werte aus der Creme-Tabelle
Gleiche Skala – sehr verschiedene Streuung
MittelwertVarianz VAR.SStandardabw. STABW.S
Creme 15,354,772,18
Creme 24,508,892,98
Creme 36,104,092,02
Creme 42,350,770,88
Creme 2 streut am stärksten, Creme 4 am wenigsten. Da Bewertungen von 1 bis 9 ordinal sind, sind Median und Häufigkeiten für die eigentliche Aussage wichtiger. Die berechneten Werte helfen hier, Varianz und Standardabweichung zu verstehen.
Messen und Fehler
Drei Fehlerarten – drei unterschiedliche Folgen
Ein Messwert ist eine Annäherung. Abweichungen können verschiedene Ursachen haben; deshalb werden sie auch verschieden behandelt.
Zufällige Einflüsse
Sie ändern Richtung und Grösse, etwa Windzug beim Wägen oder leicht unterschiedliches Ablesen.
Folge: grössere Streuung, geringere PräzisionSystematische Einflüsse
Sie verschieben Messwerte wiederholt in dieselbe Richtung, etwa ein falsch kalibriertes Gerät.
Folge: geringere RichtigkeitGrobe Fehler
Zum Beispiel Zahlendreher, falsche Einheit oder vertauschte Probe. Solche Werte können als Ausreisser auffallen.
Folge: Ursache prüfen und Vorgehen dokumentierenWarum mehrfach messen?
Wiederholungen zeigen, wie stark die Messwerte streuen. Der Mittelwert wird mit mehr unabhängigen Wiederholungen stabiler.
Auffällige Werte werden sichtbar und können anhand des Protokolls untersucht werden.
Viele Wiederholungen beheben keinen Nullpunktfehler. Dafür braucht es Kontrollen, Referenzen oder Kalibrierung.
Wie nahe liegt die Messreihe am Referenzwert?
Verglichen wird meist der Mittelwert mit einem bekannten oder akzeptierten Referenzwert. Systematische Einflüsse verschlechtern die Richtigkeit.
Wie eng liegen Wiederholungsmessungen zusammen?
Eine kleine Standardabweichung bedeutet hohe Präzision. Präzise Messwerte können trotzdem alle neben dem Referenzwert liegen.
Übung 2
Richtig oder präzise?
Wähle ein Zielbild und ordne es ein:
Wähle zuerst einen Fall.
Messwerte angeben
Auflösung, Nachkommastellen und Runden
Ein Ergebnis darf keine feinere Auflösung vortäuschen, als das Messgerät liefert. Die kleinste ablesbare Einheit bestimmt, welche Stellen sinnvoll sind.
MessgerätKleinste EinheitSinnvolle AngabeUnpassend
Lineal mit mm-Teilung1 mm = 0,1 cm5,3 cm5,30 cm
Messzylinder1 ml23 ml23,0 ml
Messzylinder0,1 ml23,4 ml23 ml
Digitalwaage0,01 g12,45 g12,4 g
Runden
Die erste weggelassene Ziffer entscheidet: 0–4 abrunden, 5–9 aufrunden.
3,746 → 3,75 · 3,742 → 3,74 · 2,995 → 3,00
Rechnen mit Messwerten
Runde erst das Endergebnis. Bei Addition und Subtraktion richtet sich die letzte Stelle nach der ungenauesten Dezimalstelle; bei Multiplikation und Division nach der kleinsten Zahl signifikanter Ziffern.
Kurze Entscheidung
Eine Digitalwaage mit einer Auflösung von 0,01 g zeigt 12,45 g. Wie gibst du den Messwert an?
Übertrage es: Notiere Messgerät und kleinste Einheit. Welche zufälligen, systematischen oder groben Fehler sind möglich? Entsteht die Streuung zusätzlich durch natürliche biologische Vielfalt?
Labor 4 · etwa 30 Minuten
Warum prüfen wir die Verteilung?
Manche statistischen Tests rechnen mit einem Modell: Viele Werte liegen nahe am Mittelwert, sehr kleine und sehr grosse Werte sind selten. Diese Form heisst Normalverteilung.
Wenn es ungefähr passt
Bei metrischen Daten können Mittelwert, Standardabweichung und ein t-Test sinnvoll zusammen verwendet werden.
Wenn es deutlich nicht passt
Einzelne Werte können den Mittelwert stark beeinflussen. Dann passen oft Median und ein Rangtest wie Mann-Whitney oder Wilcoxon besser.
Die meisten Werte liegen rechts bei den höheren Werten. Wenige kleine Werte bilden einen langen Ausläufer nach links. Bei einer rechtsschiefen Verteilung wäre es genau umgekehrt.
Zwei Häufigkeitsgipfel können auf zwei unterschiedliche Teilgruppen oder Bedingungen hinweisen. Eine einzige Glockenkurve beschreibt die Daten dann schlecht. Nicht verwechseln: Binomial ist der Name einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, zum Beispiel für die Trefferzahl bei mehreren Ja-Nein-Versuchen.
1Nur metrische DatenBei nominalen oder ordinalen Daten ist dieser Schritt nicht nötig.
2Bild ansehenIst die Verteilung ungefähr symmetrisch und ohne auffällige Ausreisser?
3Erst jetzt rechnerisch prüfenEin Normalverteilungstest kann die optische Beurteilung ergänzen. Bei kleinen Stichproben bleibt das Ergebnis unsicher.
Übung 3
0 / 3Verteilungs-Detektiv
Der Shapiro-Wilk-Test – erst nach dem Anschauen
Die Nullhypothese H₀ lautet hier: „Die metrischen Daten könnten aus einer Normalverteilung stammen.“ Der p-Wert zeigt, wie ungewöhnlich die beobachtete Verteilung unter dieser Annahme wäre.
Vorher wird eine Grenze festgelegt, meistens α = 0,05. Liegt p darunter, ist die Abweichung zu auffällig und H₀ wird verworfen.
p < 0,05: deutlicher Hinweis gegen eine Normalverteilung.
p ≥ 0,05: keine deutliche Abweichung gefunden – aber kein Beweis für Normalverteilung.
Bei gepaarten Messungen: Prüfe die Differenzen, zum Beispiel „nachher minus vorher“.
Die 20 Werte aus der Excel-Tabelle
Konkrete p-Werte vergleichen
Diese Berechnung zeigt die Logik des Tests. Für die wirkliche Testwahl bleiben die Cremebewertungen jedoch ordinal. Deshalb ist ein Rangtest geeigneter – unabhängig davon, wie der Normalverteilungstest ausfällt.
Labor 5 · etwa 45 Minuten
Ist der Unterschied mehr als Zufall?
Zwei Gruppen unterscheiden sich statistisch signifikant, wenn ihr beobachteter Unterschied mit grosser Wahrscheinlichkeit nicht nur durch Zufall entstanden ist.
Wovon hängt das ab?
Grösse des UnterschiedsWie weit liegen die Gruppen auseinander?StreuungWie stark unterscheiden sich die Einzelwerte innerhalb der Gruppen?Stichprobengrösse nWie viele unabhängige Beobachtungen liegen vor?
Ein grosser Unterschied, eine kleine Streuung und eine ausreichend grosse Stichprobe sprechen eher gegen eine rein zufällige Abweichung.
Welche Messwerte gehören zusammen?
Diese Entscheidung wird erst jetzt wichtig, weil sie bestimmt, welcher Signifikanztest passt.
n zählt die unabhängigen Untersuchungseinheiten – zum Beispiel Personen oder Keimlinge. Mehrfachmessungen derselben Person erhöhen n nicht automatisch.
20 Personen bewerten nur Creme 1, andere 20 nur Creme 4: n₁ = 20 und n₂ = 20. Für ordinale Werte passt etwa der Mann-Whitney-U-Test.
Dieselben 20 Personen bewerten Creme 1 und Creme 4. Jeder Wert hat einen Partner; es gibt n = 20 Paare. Für ordinale Werte passt der Wilcoxon-Test.
H₀ · NullhypotheseKein Unterschied
Die beobachtete Abweichung entstand durch Zufall.
H₁ · AlternativhypotheseEin Unterschied
Die Daten sprechen gegen die Nullhypothese.
0,05
H₀ verwerfen
H₀ nicht verwerfen
Wenn vorher α = 0,05 festgelegt wurde, gilt ein Ergebnis mit p < 0,05 als statistisch signifikant.
Vergleiche aus der Excel-Tabelle
Unterschied, Streuung und p-Wert zusammen lesen
Creme 1 gegen Creme 2Median 6 gegen 3,5p = 0,461nicht signifikant
Creme 1 gegen Creme 4Median 6 gegen 2p < 0,001signifikant
Creme 2 gegen Creme 4Median 3,5 gegen 2p = 0,074nicht signifikant
Creme 3 gegen Creme 4Median 7 gegen 2p < 0,001signifikant
Diese Werte gelten für den Mann-Whitney-U-Test, also für unabhängige Gruppen. Wenn dieselben Personen alle Cremes bewertet haben, sind die Werte gepaart und der Wilcoxon-Test ist richtig. Die Untersuchungsanlage entscheidet also mit.
Ein deutlicher Unterschied ist plausibel. Ein Test sollte die Aussage trotzdem prüfen.
Der Unterschied kann trotzdem signifikant sein. Aus dem Bild allein folgt nicht „kein Unterschied“.
Kurze Entscheidung
Ein Test ergibt p = 0,18. Welche Aussage ist korrekt?
Labor 6 · etwa 45 Minuten
Welcher Test passt?
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Frage → Datenart → Untersuchungsanlage → Verteilung → Test.
Interaktiver Testfinder
Baue deine Untersuchung zusammen
Passender TestWelch-t-Test
Die wichtigsten Wege
Nominal
bei kleinen Häufigkeiten: Fisher-Test
Häufigkeiten vergleichen oder Zusammenhang prüfen
Chi-Quadrat-Testbei kleinen Häufigkeiten: Fisher-Test
Ordinal
zwei unabhängige Gruppen
Mann-Whitney-U-TestOrdinal
zwei gepaarte Messungen
Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-TestMetrisch
zwei unabhängige, ungefähr normale Gruppen
Welch-t-TestMetrisch
zwei gepaarte Messungen; Differenzen ungefähr normal
gepaarter t-TestGeneralprobe
Vier Cremes im Vergleich
20 Personen bewerten jede Creme von 1 bis 9. Creme 1 hat einen Median von 6, Creme 4 einen Median von 2. Die Verteilungen sind nicht normal.
Abschluss · zwei mögliche Wege
Jetzt wird es eure Forschung
Du kannst diesen Bereich sofort mit einer Idee ausfüllen oder später mit den echten Daten zurückkehren. Deine Eingaben bleiben auf diesem Gerät gespeichert.
KursfortschrittSchliesse die sechs Lernlabore ab.
Forschungsfrage planen
Unabhängige und abhängige Variable
Die beiden Variablen zeigen, was ihr verändert oder vergleicht und welches Ergebnis ihr anschliessend messt.
Was wird verändert oder verglichen?
Zum Beispiel die Anzahl der Haarfärbungen: ungefärbt, einmal gefärbt und dreimal gefärbt.
Was wird als Ergebnis gemessen?
Zum Beispiel die Reisskraft der Haare in Newton. Sie könnte von der Anzahl der Färbungen abhängen.
Optional: eigene Zahlen aus Excel prüfen
Kopiere zwei Zahlenspalten aus Excel hier hinein. Trenne Werte durch Zeilenumbrüche, Leerzeichen oder Semikolon. Die Daten verlassen dieses Gerät nicht.
Vorgeschlagener AuswertungswegFülle zuerst die Datenart aus.
Beispiel einer vollständigen Ergebnisformulierung
Fragestellung: Werden Creme 1 und Creme 4 unterschiedlich bewertet?
Daten: Ordinale Bewertungen von 1 bis 9; dieselben 20 Personen prüften beide Cremes.
Beschreibung: Der Median betrug bei Creme 1 sechs Punkte und bei Creme 4 zwei Punkte.
Test: Wegen der gepaarten ordinalen Daten wurde der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test verwendet.
Aussage: Bei p < 0,05 wird H₀ verworfen. Die Bewertungen unterscheiden sich statistisch signifikant. Für die praktische Bedeutung werden zusätzlich die Verteilungen und die Grösse des Unterschieds betrachtet.